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高考数学解题思想:特殊与一般的思想

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  高考数学复习是有规律有内部联系的复习过程,在所有题型中一直串联着数学思想在里面,而不是单独的进行题海战术,做会一道题,完全掌握解题思维好于单独做100道题。
    高考数学解题思想:特殊与一般的思想
  由特殊到一般,再由一般到特殊,这种反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一,对数学而言,这就是我们常说的特殊与一般的数学思想。用这种思想解选择题有时特别有效,这是因为一个命题在普遍意义上成立时,在其特殊情况下也必然成立,根据这一点,我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此,用这种思想方法去探求主观题的求解策略,也同样精彩。
  例10 某学校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )。
  A.y=[■]
  B.y=[■]
  C.y=[■]
  D.y=[■]
  分析:将班级人数用具体数据替代,即可得出正确结论。
  解:当班级人数x=36时,可推选代表人数y=3,排除CD;当班级人数x=37时,可推选代表人数y=4,排除A;选B。
  例11 设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量■=(mx,y+1),向量■=(x,y-1),■⊥■,动点M(x,y)的轨迹为E。
  (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知m=■,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程。
  分析:(1)不难求得轨迹E的方程为mx2+y2=1。(讨论略)
  (2)问题的关键是确定一个圆心在原点的圆,即求出圆的半径R,使得该圆的任意一条切线与曲线E交于A,B,且OA⊥OB,如何求出圆的半径呢?从特殊位置入手是处理这类问题的有效方法。
  解:(2)当m=■时,曲线E的方程为x2+4y2=4,取切线l:x=R,
  由x=Rx2+4y2=4?圳x=Ry=±■,所以A(R,■),B(R,-■)
  又OA⊥OB,所以■·■=0?圳R2=■。下面只要证明圆x2+y2=■的任意一条切线都与椭圆相交于不同两点,且OA⊥OB。
  (i)当圆x2+y2=■的一条切线的斜率存在时,可设其方程为y=kx+t,则■=■?圳t■=■(k■+1),由方程组y=kx+tx2+4y2=4得x2+4(kx+t)2=4,即,(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0
  则Δ=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2+1)=■(16k2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
  则x1x2+y1y1=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(1+k2)·■+kt·■+t2=■=0,所以OA⊥OB;
  (ii)当切线的斜率不存在时,切线为x=±■■,与■+y2=1交于点(■■,±■■)或(-■■,±■■)也满足OA⊥OB。
  综上,存在圆心在原点的圆x■2+y2=■,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且■⊥■。

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